Данная программа поделена на четыре раздела. Для достижения наилучшей эффективности рекомендуется заниматься ими равномерно.

После прохождения определенного количества тем, многие олимпийцы попадаются в одну и ту же ловушку: они неистово начинают решать подборки задач на определенную тему. Но задайте себе вопрос: эффективно ли то, что вы использовали инверсию на задачи из подборки на инверсию? Мы думаем, что ответ — нет, и все дело в том, что подборки, по большей части, создают искусственную обстановку. На олимпиаде не будет написанно темы перед задачами, поэтому не стоит забывать о практике. Однако, для закрепления новой темы или идеи подборки, все же, стоит решать.

Стоит сказать, что не существует конкретного плана подготовки, изучив которые вы станете успешно выступать на олимпиадах. Одна из причин это потому что разным людям нужно разное кол-во времени для усвоения материала — одним достаточно 10 задач, чтобы понять общую суть метода, когда как другим на это уйдет 20-30 задач. Наша логика была в том, что лучше дать больше материалов для закрепления, чем меньше, поэтому если у вас возникает чувство, что задачи легкие - пропускайте их. И помните, что цель не состоит в том, чтобы изучить максимальное кол-во книг или статей, а получить максимальное кол-во математических навыков и знаний, а уж как вы будете их добывать решать вам, мы лишь даем рекомендацию для среднестатистического, но целеустремленного олимпиадника.

Содержание:

3 кита на которых зиждутся неравенства — это AM-GM, Cauchy-Schwarz (Hölder's inequality), и Алгебраические Манипуляции. Это база помогает решить почти любые неравенства. Причем третий пункт не всегда является интуитивно понятным, его надо оттачивать и изучать как отдельную тему.

Чтобы начать заниматься по этим ресурсам вам нужна минимальная база в неравенствах и в алгебре. Ленинградских Математических Кружков или любого другого аналогичного ресурса будет достаточно.

AM-GM: 

1. Chapter 1: AM-GM Inequality — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung.

Cauchy-Schwarz:

1. Chapter 2: Cauchy-Schwarz and Hölder Inequalities — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung.
2. Chapter 2: Always Cauchy-Schwarz — Problems from the Book by Titu Andreescu.
   Примечание: в этой книге рассматривается уже более нестандартные применения неравенства Cauchy-Schwarz.
3. Chapter 5: T2’s Lemma — Problems from the Book by Titu Andreescu.

Алгебраические Манипуляции:

1. Chapter 1: Point of Incident technique in AM-GM inequality (страницы 1-57) — Diamonds in Mathematical Inequalities by Tran Phuong.
   Примечание: это глава о том как правильно разложить выражение на слагаемые и применить AM-GM. Сама тема кажется тривиальной, но от этого не перестает быть важной. К слову, в третьей задаче на IZHO 2020 после применения базовой инверсии неравенство становится тривиальным с применением этой техники.
2. Chapter 6: Method of Unbalanced Coefficients — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung.

Чуть более продвинутые техники:

1. Chapter 3: Chebyshev’s Inequality — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung.
2. Chapter 5: Abel Formula and Rearrangement Inequality — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung.
3. Chapter 8.1: Getting Started, Schur’s Inequality — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung.
4. Chapter 8.3: Normalization Skill — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung.

Частные случаи:

1. Nice Identity. Решения: solutions.
2. On maximization of special function on the basis of given parameters by Sayan Mukherjee, Kolkata.
3. Chapter 1: Some Useful Substitutions — Problems from the Book by Titu Andreescu.
4. Square it! by Mathematical Excalibur.

Опционально:

1. The Entirely Mixing Variables Method by Pham Kim Hung.
2. Chapter 4: Inequalities with Convex Functions — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung.
3. Muirhead’s Theorem.
   Примечание: статья состоящая из 1 задачи.
4. Tangent Line Trick.
   Примечание: теперь можете решить USAMO 2017 P6, тем самым подорвая авторитет USAMO.
5. Chapter 8.4: Symmetric Separation — Secrets in Inequalities by Pham Kim Hung.
   Примечание: это обобщение идеи Tangent Line Trick.
6. Majorization and Karamata’s Inequality by Pham Kim Hung.
7. Simple Trigonometric Substitutions with Broad Results by Vardan Verdiyan, Daniel Campos Salas.

Геометричесике неравенства:

Геометрические неравенства приходят на олимпиадах крайне редко, но в случае если такое неравенство все таки придет, вам будет достаточно знать единственную подстановку решающую все задачи того рода также называемая Ravi Substitution: если \(a\), \(b\), \(c\) стороны треугольника, существует такие положительные \(x\), \(y\), \(z\), что \(a=x+y\), \(b=y+z\), \(c=z+x\). С этим знанием можете порешать 2-ую задачу на Республиканской олимпиаде за 9 класс 2018-го года.

Данный раздел можно изучать углубленно и входить в такие дебри как неравенства с \(R\), \(S\), \(r\) и т.д, как например любят делать китайцы, либо же очень старые учебники по неравенствам до 2000-года. Но шансы того, что вам эти знания понадобятся на олимпиаде стремятся к нулю.

Многочлены с вещественными коэффициентами:

1. Теория по многочленам by Aibek Myrzatay.
2. Chapter 2.7: Polynomials — Intermediate Number Theory.
   Примечание: Chapter 2.8 решать не стоит.
3. Section 1: Algebra — Polynomials by Alexander Remorov.
4. Chapter 11: Lagrange Interpolation Formula — Problems from the Book by Titu Andreescu.

Многочлены с целыми коэффициентами:

1. Chapter 6: Polynomial — Functional Equations by Pang Chen Wu.
2. Integer Polynomials by Yufei Zhao.
   Примечание: Тут рассказывается про неприводимость целочисленных многочленов.
3. Section 2: Number Theory — Polynomials by Alexander Remorov.
4. Chapter 2.2: Induction and Binomial Coefficients — Number Theory: Concepts and Problems by Titu Andreescu.
   Примечание: тут рассказывается про биномиальные коэффициенты, а также то, как они собою производят все целозначные многочлены. Целозначные многочлены - множество многочлены с целыми значениями в целых точках, включающие в себя целочисленные многочлены.
5. Chapter 10: Arithmetic Properties — Polynomials by Alexander Remorov.

Опционально:

1. Chapter 23: Some Special Applications Polynomials — Problems from the Book by Titu Andreescu.
2. Chapter 21: Some Useful Irreducibility Criteria — Problems from the Book by Titu Andreescu.
   Примечание: тут объясняется неприводимость многочленов. Это тяжелее чем Yufei Zhao и однозначно выходит за пределы олимпиадной математики.

Здесь дано даже больше ресурсов чем вам нужно для решения обычных задач на олимпиаде. Не забывайте, что всякую тему надо тренировать на задачах из международных и национальных олимпиад, а также на задачах из IMO SL.

Функциональные уравнения

1. Functional Equations Pang Chen Wu.

У вас мог возникнуть вопрос: "почему тут только одна книга?" или "почему так мало?". Все дело в том, что почти все функциональные уравнения описываются как “подстановка, рассуждения”, “подстановка, рассуждения”, … и так до окончательного решения. Особенных и при этом часто используемых техник в функциональных уравнениях очень мало, поэтому нашелся человек, который решил их всех описать в одной книге. После изучения этой книги вы становитесь очень умелым алгебраистом в контексте фур. Но если вы считаете, что этого недостаточно, тогда рекомендуем решать контесты и задачи с IMO SL, USAMO, USA TSTST, USA TST, China MO, China TST и т.д.

Вообще, мат. анализ обычно не встречается на математических олимпиадах, НО знание основ мат. анализа может облегчить решение многих задач. Также, стоит заметить, что такие инструменты мат. анализа как производные, пределы, интегралы, и т.д будут встречаться в последующих темах поэтому настоятельно рекомендуем понять их.

Курс Бориса Трушина по мат. анализу:

1. Пределы:
   1. Предел последовательности | матан #006 | Борис Трушин ||
   2. Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами | матан #007 | Борис Трушин !
   3. Свойства пределов последовательностей, связанные с арифм. действиями | матан #008 | Борис Трушин !
   4. Пределы основных последовательностей | матан #009 | Борис Трушин |
   5. Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса | матан #010 | Борис Трушин |
   6. Теорема Больцано — Вейерштрасса | матан #012 | Борис Трушин |
   7. Критерий Коши сходимости числовых последовательностей | матан #013 | Борис Трушин |
   8. Предел функции. Определение предела функции "по Коши" и "по Гейне" | матан #014 | Борис Трушин 
2. Производная:
   1. Производная. Начало | Ботай со мной #056 | Борис Трушин |
   2. Производная произведения и частного | Ботай со мной #058 | Борис Трушин |
   3. Что такое касательная | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |
   4. Производная произведения и частного | Ботай со мной #058 | Борис Трушин |
3. Число \(e\):
   1. Число e | матан #011 | Борис Трушин |
   2. Число e на пальцах | Ботай со мной #054 | Борис Трушин |
4. Интеграл:
   1. Что такое интеграл, формула Ньютона-Лейбница | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин ||
   2. Кратные интегралы | Высшая математика на пальцах | Борис Трушин |
5. Интересные факты:
   1. Стрёмный экстремум | В интернете опять кто-то неправ #008 (Артур Шарифов) | Борис Трушин |
   2. Стрёмный экстремум. Часть II | В интернете опять кто-то неправ #009 | Борис Трушин |
   3. Такие разные бесконечности. Счётные и несчётные множества | матан #005 | Борис Трушин !
   4. Дотянуться до континуума | Ботай со мной #041 | Борис Трушин |
   5. Лев против дрессировщика | Ботай со мной #062 | Борис Трушин |
   6. Hard! Тысячеугольник | Ботай со мной #064 | Борис Трушин |
   7. Тысячеугольник 2.0 | Ботай со мной #065 | Борис Трушин |
6. Разбор некоторых сложных задач на анализ:
   1. Математика для поступивших. Разбор семестровой работы МФТИ | #ТрушинLive #011 | Борис Трушин |

Все топовые школьники в США, Китае и других странах проходят линейную алгебру на сборах. Это цитата Po Sheh Loh тренера сборной США на IMO, раскрывающяя почему:  “Когда я пришел на интервью с коллегией, которая занимается организацией математических олимпиад и сборов в США, я им сразу сказал: если вы решите назначить меня тренером, знайте сразу - я не буду стараться натренировать учеников по максимуму. Моей целью никогда не будет получение топового результата. На чем я хочу фокусироваться, так это на раскрытии потенциала каждого из учащихся. Из 20 участников сборов, всего 6 поедут на саму олимпиаду, а я хочу чтобы как можно больше людей из 20 раскрыли себя и были успешными и через 5, и через 10 лет. И они меня взяли.

And then we won accidentally three times (2015, 2016, 2018)”

Для США изучение линейной алгебры - это как бы способ показать школьникам суровый матан при этом иногда применяемый в олимпиадных задачах. Если вы действительно топовый математик, считающий себя не менее достойным как и ученики из сборной США, и хотите изучить что-то интересное и связанное с высшей математикой, но не уходить совсем далеко от олимпиадных задач (или уходить) - вы можете порешать данные материалы.

В добавок к аргументам за решение линейной алгебры (также как и мат. анализа и теории вероятностей) будет то, что это действительно применимые знания в промышленности и науках, самые очевидные примеры это computer and data science, statistics. Также это развивает те части мозга, которые обычно не подключаются когда вы решаете стандартные мат. олимпиадные задачи; вы начнете развивать в себе новые идеи и гибкость мозга. 

Хочу сказать, что если хотя бы один человек в Казахстане решит эту секцию полностью, это уже будет радостная новость. Удачи! 
 

Теория:

Прочитайте определение поля, кольца, векторного пространства в Википедии

1. Chapter 9: Vector Spaces — An Infinitely Large Napkin by Evan Chen.
2. Lecture 1: Matrix-Vector Multiplication — Numerical Linear Algebra by Lloyd Trefethen and David Paul.
3. Chapter 10: Eigen Things — An Infinitely Large Napkin by Evan Chen.
4. Lecture 2: Orthogonal Vectors and Matrices — Numerical Linear Algebra by Lloyd Trefethen and David Paul.
5. Chapter 3: Matrices and Linear Equations — Essential Linear Algebra by Titu Andreescu.
6. Chapter 4: Vector spaces and subspaces — Essential Linear Algebra by Titu Andreescu.
7. Chapter 5: Linear Transformations — Essential Linear Algebra by Titu Andreescu.
8. Chapter 7: Determinants — Essential Linear Algebra by Titu Andreescu.
9. Lecture 3: Norms — Numerical Linear Algebra by Lloyd Trefethen and David Paul.
10. Chapter 12: Determinant — An Infinitely Large Napkin by Evan Chen.
11. Chapter 13: Inner Product Spaces — An Infinitely Large Napkin by Evan Chen.

Применение в олимпиадных задачах:

1. Vector Space Over Z/2Z — Summer 2015 Camp Training Canada
2. Algebraic Methods in Combinatorics by Po Sheh Loh (обязательно к решению).
3. Yufei Zhao’s articles: Algebraic Techniques in Combinatorics, Linear Algebra Tricks for the Putnam, Determinants, Evaluation and Manipulation

Подборки задач на линейную алгебру из ТЧ/Алгебры:

1. Chapter 9: A Brief Introduction to Algebraic Number Theory — Problems from the Book by Titu Andreescu.
2. Chapter 12: A Higher Algebra in Combinatorics — Problems from the Book by Titu Andreescu.

1. On the \(1^k+2^k+\dots+n^k\) — Aibek Myrzatay.

Статья не относящаяся к вышеперечисленным темам, но ознакомится с ней стоит.

Problem Solving Strategies by Arthur Engel — это хорошая книга для начала. По большей части она содержит задачи легко-средней сложности.

1. Chapter 4: The Box Principle.
2. Chapter 1: The Invariance Principle.
3. Chapter 3: The Extremal Principle.
4. Chapter 5: Enumerative Combinatorics.
   Примечание: если у вас есть проблемы с пониманием E13 a.k.a Cayley’s Formula, то вы можете прочитать более внятное решение отсюда: Graph Theory and Cayley’s Formula by Chad Casaratto.
5. Chapter 2: Coloring proofs. 
   Примечание: Во всех 38-и задачах рассказывается об одной идее раскраски, но вы решите столько задач сколько вам понадобится для усвоение темы - допустим только четные задачи или только последние 10 задач.
6. Chapter 8: Induction Principle.
7. Chapter 13: Games.

Combinatorial Problems in Mathematical Competitions by Yao Zhang содержит более тяжелые задачи. Из-за разности в уровни советуем пройти даже те темы, которые были в Problem Solving Strategies.

1. Chapter 1: Principles and Formulas of Counting.
2. Chapter 2: Pigeonhole Principle and Mean Value Principle.
3. Chapter 4: Recurrence Sequence of Numbers.
4. Chapter 5: Classification and Method of Fractional Steps.
5. Chapter 6: Correspondent Method.
6. Chapter 7: Counting in Two Ways.
7. Chapter 8: Recurrence Method.
8. Chapter 9: Coloring Method and Evaluation Method.
   Примечание: эта глава может быть дополнена решением или прочтением решения этой задачи: Two Solutions to a Tiling Problem by Zachary Abel.
9. Chapter 10: Reduction to Absurdity and the Extreme Principle.
10. Chapter 11: Local Adjustment Method.
11. Chapter 12: Construction Method.
12. Chapter 13: Combinatorial Counting Problems.
13. Chapter 14: Existence Problems and the Proofs of Inequalities.
14. Chapter 15: Combinatorial Extremum Problems.

1. Chapter 7: Counting in Two Ways — Combinatorial Problems in Mathematical Competitions by Yao Zhang.
2. Counting in Two Ways (MOP 2007 Black Group) by Yufei Zhao. (Ненужные части были вырезаны)
   Примечание: здесь следует решать только примеры.
3. Chapter 6: Counting in Two Ways — Olympiad Combinatorics by Pranav Sriram.
   Примечание: факультативно, можно и контесты порешать, первые примеры как обычно легкие.

Графы — это очень полезный инструмент. Очень много задач, которые на первый взгляд не имею ничего общего с графами, можно свести к графам. Идеи из этого раздела математики можно экстраполировать на любые задачи в которых можно определить ребра и вершины.
Также советуем посмотреть две статьи из Problems From The Book, которые мы привели.

1. Hall's Marriage Theorem by Carl Joshua Quines.
2. Подборка красивых задач на графы.
3. Chapter 6: Some Classical Problems in Extremal Graph Theory — Problems from the Book by Titu Andreescu.
4. Chapter 23: Cycles, Paths, and Other Ways — Problems from the Book by Titu Andreescu.

Не удивляйтесь тому, что мы, фактически, предлагаем вам пройти Принцип Дирихле уже третий раз. Дело в том, что это очень мощный инструмент, которым вы будете пользоваться в решении многих задач. Двадцатая глава состоит из более сложных задач, в которых применяется Принцип Дирихле и показывает нестандартные методы его использования.

1. Chapter 20: A Pigeonhole Principle Revisited — Problems from the Book by Titu Andreescu

Хоть производящие функции и являются алгебраическим понятием, они помогает работать с комбинаторными объектами, что бывает полезным не только в комбинаторике, но и в теории чисел. Идея заложенная в производящие функции очень красивая и скорее всего вы получите удовольствие при решении задач на эту тему (кроме, конечно, случаев когда у вас врожденная резистентность к комбинаторике). Также хочется отметить, что задачи с применением производящих функции часто требует понимание поведения корней из единицы и алгебраических чисел (чаще всего для Root Unity Filter), что вы можете узнать в 5-ой секции "Теории по Многочленам"

1. Chapter 3: The Generating Functions — Combinatorial Problems in Mathematical Competitions by Yao Zhang.
2. Lecture 11: Generating Functions — Awesome Math 2007 by Yufei Zhao.
3. Snake oil method: Evaluation of sums.
4. Chapter 7: Complex Combinatorics — Problems from the Book by Titu Andreescu.
   Примечание: опционально, но красиво.
5. Chapter 8: Formal Series Revisited — Problems from the Book by Titu Andreescu.
   Примечание: опционально, но красиво.
6. Generatingfunctionology by Herbert S. Wilf и Topics in Generating Functions by Qiaochu Yuan.
   Примечание: Эти книги являются полными курсами по производящим функциям. Если вы не собираетесь становится профессором математики вряд ли вам это понадобится, т.е на олимпиадах это не пригодится совсем. Вы можете воспринимать их как справочники, на случай если вам будет сложно найти решение к какой-то задаче в первых пяти источниках.

Глава из этой книги ранее упомяналась в Подсчете двумя способами как факультативный пункт. Опять же мы вам советуем порешать оттуда задачи, они полезные и нелегкие.

1. Olympiad Combinatorics by Pranav Sriram.

Форум по обсуждению задач из Olympiad Combinatorics by Pranav Sriram — AoPS. Это пост где выходило объявление о возможности скачать эту книгу, которые тоже вызвало обсуждение некоторых задач — https://artofproblemsolving.com/community/c6h601134.

Вероятность делится на дискретную и вещественную. Формула для дискретной вероятности возникновения некоторого события является количество исходов при возникновении данного исхода деленное на общее количество возможных исходов. Проблемы возникают в тех случаях, когда количество и тех и других является бесконечностью. Такая вероятность называется вещественной. Один из примеров такой вероятности это шанс того, что случайно выбранная точка на отрезке \([0, 1]\) будет лежать на отрезке \([0, 0.5]\). Может показаться весьма очевидным то, что вероятность этого события равна \(0.5\), однако не зная точного определения вероятности, вы можете легко запутаться, а также произвести много противоречий особенно при выходе из олимпиадных задач. Да что уж там говорить, множество значимых математиков в истории наталкивались на противоречия, одна из которых была найдена Бертраном. Современное определение вероятности — это очень сложная для понимания определение, названная как аксиоматика Колмогорова. 

Вообще, в олимпиадной математике вам будет достаточно хорошее понимания дискретной теории вероятностей, а также поверхностное понимание общепринятой (вещественной) теории вероятностей. Вещественный теорвер (так математики называют теорию вероятностей) решает очень специфичный тип задач, которые вы можете встретить только в подборках. В то время как дискретный теорвер может применяться как в задачах по комбинаторике так и в задачах по теории чисел. Следует понимать, что дискретный теорвер не предусмотрен для использования в олимпиадах и ее изучение полностью факультативно. Оно бывает полезным в задачах по комбинаторике и может вывести нужный результат пропуская рассуждения вида “Подсчета Двумя Способами” (в пример можно взять задачу Example 2.1 из статьи Evan Chen’а “Expected Uses of Probability”.)

Изучать теорию вероятностей можно в том случае, если вы хотите расширить ваш кругозор, а также укрепить понимание “Подсчета Двумя Способами” в комбинаторике. Советуется не изучать эту тему, если у вас остается мало дней до значимой олимпиады или если вы имеете слабую базу в олимпиадной математике. 

Развить общее понимание дискретного теорвера поможет [1] до §3.2. Эти знания можно попробовать применить в задачах из [2] (в [2] решать геометрию не стоит). Затем вы уже можете дочитать до конца статью [1], решив сложные задачи для вас из раздела Practice Problems. Если вам нравятся сложные задачи, то можете продолжить ваше обучение через [3].

В секции Algebra в [2] нужно быть знакомым с такими понятиями как Распределения Случайной Величины X, Плотность Распределения Случайной Величины X, Функция Распределения, Математическое Ожидание Абсолютно Непрерывной Случайной Величины X (мы готовим из вас статистика!). Пусть эти понятия и звучат сложными на деле они очень интуитивно понятны, особенно при понимании поведения интегралов функций. Их можно будет скоро изучить в An Infinitely Large Napkin от Evan Chen-а (когда выйдет обновление на книгу).

Также при возникновении трудностей, вы можете заглядывать в [4], используя его как справочник. К слову множество задач из первых трех ресурсов было взято оттуда.

1. Expected Uses of Probability by Evan Chen.
2. Unexpected Uses of Probability by Ravi Boppana.
3. Chapter 9: Probabilistic Method — Olympiad Combinatorics by Pranav Sriram.
4. The Probabilistic Method by Noga Alon and Joel H. Spencer.

Геометрия

По ходу этого модуля вы часто будете встречать две книги: Euclidian Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen и Lemmas in Olympiad Geometry by Titu Andreescu. Поэтому хотим написать небольшие комментарии:

1. О книге Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen:
   Как и в любой книге в ней существуют ошибки, которые могут привести вас к ситуации, когда вы часами решаете неправильную задачу. С целью избежать таких казусов есть специальный документ от Evan Chen’а со всеми найденными ошибками, где красными отмечены фатальные ошибки полностью меняющее утверждение задачи. 
   Как вы наверное успели заметить в книге к каждой задаче предлагается 5 подсказок, что делает эту книгу одной из лучших среди своих аналогов. Подсказки заменяют тренера, которые должен наводить своих учеников в правильном направлении в случае, если они “застряли” в задаче или остаются без идей. Настоятельно рекомендуем перед прочтением подсказки решать задачу определенное кол-во времени и читать их только тогда, когда они вам действительно нужны или вы уже минут десять сидите без идей. Как правило вы должны находить решение задачи после 4-ой подсказки, а пятая подсказка должна быть только для тех случаев, когда задача была действительно сложной. Из наличия подсказок исходит, что вы не так часто должны прибегать к прочтению самих решений (кроме, конечно, случаев когда вы решили задачу и читаете ее решение для ознакомления с идеями автора), но если вы все таки вынуждены прочитать решение, вы можете прибегнуть к помощи страницы на AoPS именуемый как Contest Collections, либо же специальному форуму по обсуждению задач из EGMO.
2. Форум по обсуждению задач из Lemmas in Olympiad Geometry by Titu Andreescu — https://artofproblemsolving.com/community/c1213795_lemmas_in_olympiad_geometry_active_forum.

Angle Chasing и подобие

1. Chapter 1: Angle Chasing — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.
2. Constructions by Carl Joshua Quines.
3. Similarity by Yufei Zhao.

Степень точки

1. Chapter 2: Circles — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.
2. Chapter 1: Power of a Point — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
   Примечание: Если вас интересует теорема о бабочке, то можете факультативно прочитать статью про шесть доказательств теоремы о бабочке.
3. Degenerate Circles by Nathan Ramesh.
   Примечание: Точка это окружность с радиусом 0!
4. Chapter 3: Carnot and Radical Axes — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.

Отношение сторон

Если Angle Chasing учит вас тому, как переводить отношение сторон в отношение углов, то Счет будет вас учить прямо противоположному. Сюда входит Теорема Чева, Менелая, Птолемея и Тригонометрия. 

Для изучения этих материалов было бы полезным хотя бы знать что такое синус, косинус, тангенс, котангенс, а также такие теоремы как Теорема Синусов и Теорема Косинусов. Определение базовых тригонометрических функции через прямоугольный треугольник можно узнать в любом школьном учебнике, либо допустим в этом видео. Про определение и доказательство теорем косинусов и синусов вы можете узнать в этом видео. Эти знания поверхностные, но достаточны для решения задач из этой подборки. Для более глубокого понимания рекомендуется посмотреть 2-х часовое видео Бориса Трушина — Тригонометрические формулы.

1. Chapter 3: Lengths and Ratios — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.
2. Chapter 5: Computational Geometry — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.
3. Chapter 3: Ceva, Trig Ceva, Quadrilateral Ceva — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
4. Chapter 4: Menelaus Theorem — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
5. Chapter 6: Jacobi’s Theorem — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
6. Ptolemy’s Sine Lemma by Fedir Yudin and Nikita Skybytskyi.

Вы уже решили все то, что нужно для решения многих задач на Республиканской Олимпиаде и IMO. Не поверите, но даже за 10 и 11 классы на Республиканской Олимпиаде приходят задачи где не нужно больше ничего знать кроме счета, уголков и подобий. Однако многие люди их не решают (как примеры МЖО 2019 P4). Тем не менее, материалы идущие дальше будут еще больше совершенстововать ваше умение решать геометрию, и ознакомят вас с новыми конструкциями и методами.

1. Chapter 4: Assorted Configurations — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.
   Примечание: если вам понравилось последняя задача, то рекомендуется посмотреть сюжет о сложной и красивой Задаче Ивлева. Решения многих задач оттуда, а также некоторые обобщения можно встретить в предложенной статье.
2. Конструкция вокруг вписанной окружности Д. В. Швецова.
3. Chapter 9: Symmedians — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
4. Chapter 14: Homothety — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu”.

А также обязательно решите для себя задачу 2015 USA TST P1, которая замечательно раскрывает конструкцию вокруг гомотетии между вписанной и вневписанной окружностями. К слову, в начале было удивление из-за того, что Evan Chen, будучи составителем этой задачи, не вставил ее в свою книгу, но как оказывается это задача была включена в другую его статью, которая идет следующей и которую мы рекомендуем прочитать всем, кто хочет понять как создаются задачи по геометрии. Она будет полезна не только для юных составителей задач, но и для олимпиадников, которые решают задачи от этих самых составителей.

1. Writing Olympiad Geometry Problems by Evan Chen.

1. Нестандартные Признаки Описанности П. Кожевникова.

Полянский в своей статье рассказывает про легкие и интересные леммы, которые порой решают сложные задачи и являются обязательным инструментом в арсенале любого геометра. Даже если вы этого не осознавали, все воробьи являются примерами поворотной гомотетии, так что рекомендуем изучить воробей после изучение так называемого Spiral Similarity, так как это даст вам понимание природы этих лемм и того, что заложено в их корень.

1. Воробьями по пушкам А. Полянского.
   Примечание: решение некоторых задач можете найти в его статье из кванта.
2. Generalization of a Problem with Isogonal Conjugate Point by Tran Quang Hung and Pham Huy Hoang.

1. Chapter 7: Isogonal Conjugates and Pedal Triangles — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
2. Section 2: Isogonal Conjugation in Polygons: — Advanced Lemmas in Geometry by Fedir Yudin. (Может быть дополнена третьей секцией - A Few Configurations by Victor Rong)
3. Section 3: Isogonal Lemma — Advanced Lemmas in Geometry by Fedir Yudin.
4. Section 3: 

Инверсия

1. Chapter 8: Inversion — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.
2. Chapter 15: Inversion — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.

Если вы не полностью можете понять некоторые решения, тогда вы можете почитать другие решения с инверсией с AoPS или со статьи Оразалина Алибека. Большинство проблем возникают, когда начинают использовать свойства композиции инверсии с центральной симметрией, либо композиции инверсии с симметрией относительно биссектрисы угла треугольника. Просто помните, что если условие X сохраняется после обоих движений плоскости, тогда она сохраняется и при их композиции.

Проективная геометрия

1. Chapter 9: Projective Geometry — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.
2. Chapter 5: Desargues and Pascal — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
3. Chapter 10: Harmonic Divisions —Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
4. Chapter 11: Appendix A: Some Generalizations of Blanchet’s Theorem — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
5. Chapter 12: Poles and Polars — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
6. Chapter 13: Appendix B: An Incircle Related Perpendicularity — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.

Spiral Similarity

1. Chapter 19: Complete Quadrilaterals — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
2. Chapter 10:Complete Quadrilaterals — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.
3. On a special center of spiral similarity by Jafet Baca.

Рекомендуется сбалансированно совмещать [1] и [2], т.е. сначала решать [1] до Delta 19.7, а затем переключится на [2] и решать её пока не застрянете, потом снова [1] пока не застрянете и т.д.

1. Chapter 4: Assorted Configurations — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.
2. Chapter 17: Mixtilinear and Curvilinear Incircles — Lemmas in Olympiad Geometry bu Titu Andreescu.
3. A Guessing Game: Mixtilinear Incircles by Evan Chen.
   Примечание: тут больше всего интересны философское вступление и элемент игры в угадывание.
4. On mixtilinear incircles by Jafet Baca.
   Примечание: эта шикарная статья, и она отлично дополняет оставшиеся. Также у неё достаточно сложные задачи в конце.

1. Two applications of a Lemma on Intersecting Circles by Vladimir Dubrovsky.
2. Special Point on a Median by Anant Mudgal, Gunmay Handy.
3. A point with Many Properties by Yimin Ge.
4. Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и еще одна точка Ю. Блинкова.
5. Chapter 16: The Monge-D'Alembert Circle Theorem — Lemmas in Olympiad Geometry by Titu Andreescu.
6. Chapter 8: Simson and Steiner— Lemmas in Olympiad Geometry by Titu Andreescu.
7. Chapter 21: Apollonian Circles and Isodynamic Points — Lemmas in Olympiad Geometry by Titu Andreescu.
8. About geometric problem in Sharygin contest 2015 by Tran Quang Hung.

В этой части вы научитесь решать геометричекские задачи алгебраически. Однако, заметьте тот факт, что любая геометрическая задача может быть решена без использования алгебраического метода.

Барицентрические координаты

1. Chapter 7: Barycentric Coordinates — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.
2. Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry by Max Schindler, Evan Chen.

Комплексные координаты

1. Chapter 6: Complex Numbers — Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen.

Animation Method

1. The Method of Moving Points by Vladyslav Zveryk.
   Примечание: можете посмотреть форум по обсуждению задач из Moving Points by Vladyslav Zveryk— https://artofproblemsolving.com/community/c1183199h2127280_vladyslav_zveryks_handouts_problem_links.
2. The Method of Animation by Zack Chroman, Gopal K. Goel, Anant Mudgal AoPS.

1. Глава 3: Алгоритм Евклида и основная теорема Арифметики — Алгебра и Теория для Математических Школ от Н.Б. Алфутова, А. В Устинова (без чисел Люка и Цепных дробей).
2. Глава 4: Арифметика Остатков — Алгебра и Теория для Математических Школ от Н.Б. Алфутова, А. В Устинова.
3. Chapter 1: Divisibility — Olympiad Number Theory Through Challenging Problems by Justin Stevens.
4. Chapter 2: Divisibility — Number Theory: Structures, Examples, and Problems by Titu Andreescu.
5. Chapter 2: Modular Arithmetic — Olympiad Number Theory Through Challenging Problems by Justin Stevens.
6. Chapter 2: Powers of Integers — Number Theory: Structures, Examples, and Problems by Titu Andreescu.
7. Chapter 3: Floor Function and Fractional Steps — Number Theory: Structures, Examples, and Problems by Titu Andreescu.
8. Chapter 4: Digits of Numbers — Number Theory: Structures, Examples, and Problems by Titu Andreescu.
   Примечание: эта статья также может быть дополнена Chapter 16: Sum of Digits — Problems from the Book by Titu Andreescu.
9. Chapter 5: Basic Principles in Number Theory — Number Theory: Structures, Examples, and Problems by Titu Andreescu.
10. Chapter 3: p-adic Valuation — Olympiad Number Theory Through Challenging Problems by Justin Stevens.
11. Chapter 7: More on Divisibility — Number Theory: Structures, Examples, and Problems by Titu Andreescu. 
12. Lifting the Exponent Lemma by Amir Hosein Parvardi. Решения: solutions.
13. Chapter 5: Problem Solving Strategies — Olympiad Number Theory Through Challenging Problems by Justin Stevens.

1. A Nice Lemma in Congruence (Thue’s Lemma) by Masum Billal.
2. Residue Classes with order 1 or 2 and a Generalization of Wilson’s Theorem by Yimin Ge.
3. Polynomial Division in Number Theory by James Rickards.
4. Chapter 5: Congruences involving prime numbers — Number Theory: Concepts and Problems by Titu Andreescu.
5. Chapter 17: At the Border of Analysis and Number Theory — Problems from the Book by Titu Andreescu.

1. The Chinese Remainder Theorem by Evan Chen.
2. Chapter 7.1: Chinese Remainder Theorem — Number Theory: Structures, Examples, and Problems by Titu Andreescu.

Под эту категорию я вставил все, что связано с \(a^n\), \(a^n-b^n\), \(a^n+b^n\) под определенными модулями. Сюда входят Теорема Эйлера, Показатели, Первообразные Корни и т.д. Это почти что базовый инструмент в теории чисел. Им очень легко овладеть, достаточно решить достаточное количество задач на эту тему, чтобы понять природу поведения экспонент в Теории чисел. 

1. A Note on the Carmichael Function by Yimin Ge.
2. Exponents and Primes by Alexander Remorov. Подсказки: hints.
   Примечание: главное для вас это решить последние 12 задач.
3. Remainder of \(Aa^x+Bx\) by Yimin Ge.
4. Chapter 7.2 and 7.3: Euler's Theorem and Order Modulo n of Number Theory: Concepts and Problems by Titu Andreescu (опционально)

1. Chapter 7.3.3: Primitive Roots modulo n — Number Theory: Concepts and Problems by Titu Andreescu.
2. 3 Problems on Primitive Roots.

1. Chapter 6.1: The yoga of \(p\)-adic valuations — Number Theory: Concepts and Problems by Titu Andreescu.
2. Chapter 6.2: Legendre's Formula — Number Theory: Concepts and Problems by Titu Andreescu.

Это тоже одна из технических вещей, которые надо знать, если задача на такую тему придет на олимпиаде (например Республиканская олимпиада за 2019 год, шестая задача, 10 класс).

1. Chapter 9.1: — Number Theory: Structures, Examples, and Problems by Titu Andreescu.
2. Chapter 18: Quadratic Residue — Problems from the Book by Titu Andreescu.
3. Chapter 5.4: Quadratic residues and quadratic reciprocity — Number Theory: Concepts and Problems by Titu Andreescu.

1. Cyclotomic Polynomials In Number Theory by Lawrence Sun.
2. Elementary Properties of Cyclotomic Polynomials by Yimin Ge.

Скорее всего, задачи на эту тему не придут на олимпиадах. Но если вам будет интересно как ведет себя мультипликативные функции в задачах олимпиадного характера, то можете посмотреть вот это:

1. Chapter 6.1: Multiplicative functions — Number Theory: Structures, Examples, and Problems by Titu Andreescu.
   Примечание: теория, рекомендуем посмотреть.
2. Chapter 4.4: Arithmetic functions —  Number Theory: Concepts and Problems by Titu Andreescu.
   Примечание: опционально, здесь стоит посмотреть задачи, но их сложность выше среднего.

Если у вас есть привычка на досуге читать математические статьи (не решая), тогда вы можете почитать эти. Также вы их можете порешать, они абсолютно факультативны 

1. Set of Articles by PEN 2008.
2. Set of Articles by PEN 2009.
3. Number Theory: Concepts and Problems by Titu Andreescu.
4. Chapter 3, 4 — Problems from the Book by Titu Andreescu.

Практика

Рекомендуем следующие олимпиады для решения:
Младшие классы: Олимпиада имени Эйлера, РО Казахстан, USAJMO, IMO Shortlist

Старшие классы: РО Казахстан, IMO Shortlist, USAJMO, USAMO, USA TSTST, USA TST, China MO, China TST 

1. artofproblemsolving.com/community/c13_contests - это обширный архив всех задач прошедших олимпиад по всему миру с обсуждениями
2. web.evanchen.cc/problems.html - официальные решения задач USAMO, USA TSTST, USA TST, IMO, ELMO
3. The Alternative IMO's by Petar Nizi ́c-Nikolac - компиляция задач из шортлистов IMO в отдельные контесты
4. Mathematical Olympiad Hardness Scale (MOHS) by Evan Chen 

Ссылки

1. usamo.wordpress.com - это сайт является блогом Evan Chen'а об математике, педагогике, подготовке к олимпиадам и еще много чего другого; очень много полезных идей можно вычерпнуть оттуда
2. web.evanchen.cc/problems.html — это ссылка со всеми официальными решениями таких олимпиад как IMO, USAJMO, USAMO, USA TSTST, USA TST, ELMO.
3. imo-official.com/problems.aspx — шортлисты многих годов IMO с официальными решениями, примечаниями, и красивым дизайном
4. artofproblemsolving.com — это самый большой форум по математике.
5. matol.kz — это сайт с задачами республиканских олимпиад и новостями касательно олимпиадного движения в Казахстана. Также есть множество других олимпиад переведнных на русский с результатами Казахстанских школьников
6. problems.ru — На данном сайте можно найти решения многих задач из Российских Олимпиад, а также из книг Алфутова Н. Б. Алгебра и Теория Чисел и Ленинградские Математические Кружки.

Интересные статьи

1. How to write solutions by Evan Chen.
2. How to write a solution by AoPS.
3. IMO 2014 Journal by Evan Chen.
   Комментарий: “This describes my experiences competing as TWN2 at the 55th IMO 2014...”
4. Taiwan TST 2014 Reflection by Evan Chen.
   Комментарий: “This describes my experiences competing for a position on the Taiwan IMO 2014 team. It also contains an extensive commentary on each of the Team Selection Tests and Quizzes, which together covered most of the 2013 IMO Shortlist.”.
5. USAMO 2014 Contest Analysis by Evan Chan.
   Комментарий: "This describes in detail the thought process behind each of my solutions to the USAMO 2014. I also scanned the solutions I submitted."
6. Constructing Diagrams by Evan Chen.
   Комментарий: советы о том как стоит делать чертежи на задачах по геометрии.
7. Report on the Third Problem of IMO 2012 by Carlos di Fiore.
   Комментарий: это доклад одного из членов жюри на IMO, увидевшего очень много различных способов решить одну и ту же задачу от учеников во время апелляции. Это статья стоит прочитать если вы уже решали IMO 2012 P6 и хотите увидеть ее решения, либо если у вас есть время для решения и разбора одной задачи, но вы не знаете какую именно хотите порешать.

Ремарки

1. Время последнего массивного редактирования плана подготовки было совершено в конце июля 2020 года. Данный план подготовки несовершенен, т.к. во первых нет объективного способа обучить всех чему-то, во вторых новые материалы могут выходить, не успевающие интегрироваться в программу. Один из ярких примеров - это книга Modern Olympiad Number Theory by Aditya Khurmi или то, что на сайте все еще не было выложено статьи по последовательностям. Если у вас есть предложения по редактированию программы, пожалуйста обратитесь к модераторам.