План подготовки продвинутой группы

На этом этапе тебе нужно углубить знания разделах из начальной группы. Набор ресурсов не будет ограничиваться русскоязычными материалами, поэтому большинство ресурсов из плана предоставлены на английском. Также, данный план составлен с расчетом на то, что вы знаете все темы из плана для начальной группы.

Хотим отметить, что в интернете можно найти сотни книг по данным разделам, но здесь мы попытались отобрать самые необходимые и исчерпывающие, чтобы в совокупности материалы покрывали все перечисленные темы. В отличии от предыдущего плана тут есть дополнительные ресурсы: если ты закончил основные материалы и хочешь еще дальше углубиться в теме - доп. ресурсы тебе в помощь.

Неравенства

Темы:

• Неравенства между средними
• Неравенство Коши-Буняковского
• Неравенство Чебышева
• Неравенство упорядоченных наборов
• Неравенство Гёльдера
• Неравенство Мюрхеда
• Неравенство Шура
• Неравенство Йенсена
• Метод Штурма
• Симметричность и однородность
• Алгебраические замены
• Тригонометрические замены
• Cauchy-Reverse Technique
• Метод касательных

Основные ресурсы:

• Первые шаги в доказательствах неравенств, Полянских С. С.
• A Brief Introduction to Olympiad Inequalities, Evan Chen
• Доказательство неравенств, MathUs
• Olympiad Inequalities, Tomas Mildorf
• Inequalities, Yuifei Zhao
• Неравенства. Методы доказательства., Седракян Н. М., Авоян А. М.

Доп. ресурсы:

• Square it!, Pham Van Thuan
• Alternative proofs of ten inequalities., A. N. Lepes
• Inequalities from around the world 1995-2005, Mathlink (AOPS) Members
• Secrets in Inequalities, Pham Kim Hung

Функциональные уравнения

Темы:

• Область значений, область определения
• Возрастание, убывание, монотонность
• Ограниченность
• Инъективность и сюръективность
• Фиксированные точки и инволюция
• Мультипликативность и аддитивность
• Подстановки всех видов
• Построение вспомогательных последовательностей
• Сведение к уравнению Коши
• Неравенства в функциональных уравнениях

Основные ресурсы:

• Функциональные уравнения и неравенства, MathUs
• Introduction to Functional Equations, Evan Chen
• Functional Equations, Pang-Cheng Wu
• Basic Methods For Solving Functional Equations, IMO Math
• Functional Equations in Mathematical Olympiads (2017-2018), Amir Hossein Parvardi

Доп. ресурсы:

• Functional Equations: Problems with Solutions, IMO Math
• Functional Equations: Problems without Solution, IMO Math
• Functional Equations, Kin Y. Li
• Functional Inequalities, Kin Y. Li

Многочлены

Темы:

• Деление многочленов с остатком
• Теорема Безу
• Количество корней многочлена степени n
• Количество корней многочлена нечётной степени
• Теорема Виета
• Свойства многочленов с целыми коэффициентами
• Лемма Гаусса, Критерий Эйлера
• Интерполяционная формула Лагранжа

Основные ресурсы:

• Многочлены деления круга, В. Сендерев
• Многочлены, А. Реморов
• Polynomials in One Variable, Duˇsan Djuki´c
• B-1. Polynomials, Po-Shen Loh

Доп. ресурсы:

• Polynomials, Yufei Zhao

Комбинаторика

Темы:

• Принцип Дирихле
• Делимость в комбинаторике
• Принцип крайнего
• Подсчёт способов
• Инвариант, полуинвариант, дискретная непрерывность
• Раскраски
• Подсчет двумя способами
• Множества. Формула включений-исключений
• Игры. Сложные стратегии
• Биекция

Основные ресурсы:

• Excerpts from OTIS, Evan Chen
• Invariants, David Arthur
• Bijections, Yufei Zhao
• Комбинаторика, Н. Я. Виленкин
• Сборник олимпиадных задач по математике (последние главы), Н. В. Горбачев

Графы

Темы:

• Рёбра, вершины, графы, связность, циклы, деревья, листья
• Необходимое и достаточное условие для того, чтобы граф был деревом
• Остовное дерево
• Гамильтоновы пути и циклы
• Ориентированные графы
• Количество вершин нечетной степени
• Двудольные графы – признак двудольности
• Лемма Холла

Основные ресурсы (список дополняется):

• Лемма Холла, Carl Joshua Quines
• Сборник олимпиадных задач по математике (последние главы), Н. В. Горбачев
• Теория графов, Д. В. Карпов

Комбинаторная геометрия

Темы:

• Расположение точек и прямых. Теорема Сильвестра
• Целочисленная решетка. Формула Пика
• Выпуклые оболочки
• Теорема Хелли

Ресурсы:

• Combinatorial Geometry, Matthew Brennan
• Вокруг формулы Пика, Н. Б. Васильев
• Grids and Related Problems, Matthew Brennan
• Теорема Хелли и вокруг нее, В. Протасов
• Теорема Сильвестра, С. Табачников, В. Томорин

Геометрия

Темы:

• Факты про ортоцентр
• Лемма о трезубце
• Окружность и прямая Эйлера
• Прямая Симпсона, прямая Штейнера
• Теорема о бабочке
• Теоремы Чевы, Менелая, ван Обеля, Дезарга, Паппа
• Изогональное сопряжение
• Синусное свойство медианы
• Свойства симедианы
• Гармонические четверки и четырёхугольники
• Полувписанные окружности и их свойства
• Теорема Тебо
• Подобие. Свойства касательных и секущих
• Точка Микеля
• Движения. Гомотетия. Векторы
• Аффинная и прямоугольная системы координат
• Комплексные числа в геометрии
• Инверсия
• Теорема Кейзи
• Счет в комплексных координатах

Основные ресурсы:

• Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads, Evan Chen
• Симедиана, Ю. Блинков
• Касающиеся окружноти: от Тебо до Фейербаха, В. Ю. Протасов
• Окружность девяти точек и прямая Эйлера, И. Ф. Шарыгин, А. Ягубьянц
• Базовые факты о точке Микеля, Ю. Блинков
• Casey’s Theorem and its Applications, Luis Gonzlez

Доп. ресурсы:

• Задачи по планиметрии (2, 4, и последние главы), В. В. Прасолов
• Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах, Я. П. Понарин
• Геометрия в картинках, А. В. Акопян
• Lemmas in Euclidean Geometry, Yufei Zhao
• A Special Point on the Median, Anant Mudgal
• Шесть доказательств теоремы о бабочке, Е. С. Горская

Теория чисел

Темы:

• Делимость, НОД и НОК
• Простые и составные числа
• Целая часть числа
• Основные функции (сумма делителей, количество делителей)
• Сравнения, системы вычетов
• Малая теорема Ферма, Теорема Вильсона
• Китайская теорема об остатках
• Функция Эйлера
• Показатель по модулю
• LTE (Lifting the Exponent)
• Первообразный корень
• Неравенства в теории чисел

Ресурсы:

• Малая теорема Ферма, В. Сендеров, А. Спивак
• Orders Modulo a Prime, Evan Chen
• Chinese Remainder Theorem, Evan Chen
• Diophantine Equation, James Rickards
• Lifting the Exponent Lemma (LTE), Amir Hossein
• Olympiad Number Theory Through Challenging Problems, Justin Stevens
• Number Theory in Problem Solving, Konrad Pilch

Доп. ресурсы:

• Number Theory Problems, Amir Hossein
• Quadratic Congruences, Duˇsan Djuki´c
• Number Theory for Mathematical Contests, David A. Santos
• Number Theory — An Olympiad Approach, Manjil P. Saikia