Перейти к содержимому
  • Объявления

    • arman

      Если вы скачали .djvu файл   04.07.2020

      Не забудьте скачать специальную программу для этих файлов.  Для Windows и macOS: https://windjview.sourceforge.io/ru Программы для чтения djvu файлов для мобильных устройств можно найти в appstore и play market соответствующим поиском. Также вы можете перевести формат djvu в pdf через онлайн конверторы: https://djvu2pdf.com/  
    • arman

      Контесты Symmetrix   12.11.2020

      Контесты пока отложены на неопределенный срок

Блоги

Блоги сайта

  1. Фэнси задачи

    • 2
      записи
    • 0
      комментариев
    • 105
      просмотров

    Последние записи

    Danat
    Последняя запись

    Вроде бы, однажды, на Всероссийской олимпиаде школьникам была предложена следующая задача: 

    Обозначим через \(s(x)\) сумму цифр натурального числа \(x\). Докажите, что существует бесконечно много натуральных \(n\), таких, что \(s(3^n) \ge s(3^{n+1})\).

    Решение совсем простое. Предположим обратное. Тогда с какого то момента \(n_0>2\) последовательность \(s(3^n)\) строго возрастает. Рассматривая по модулю 9, получаем: \(s(3^{n_0+k}) \ge s(3^{n_0+k-1}) + 9 \ge … \ge s(3^{n_0})+9k\). Возьмем \(k\) достаточно большим. Тогда \(9k < s(3^{n_0+k}) \le 9\log_{10}(3^{n_0+k}) < 9\log_{10}(10^{\frac{n_0+k}{2}}) =9\cdot\frac{n_0+k}{2}\), что, очевидно, является противоречием. А что если чуточку изменить задачу, всего лишь один знак? 

    Обозначим через \(s(x)\) сумму цифр натурального числа \(x\). Докажите, что существует бесконечно много натуральных \(n\), таких, что \(s(3^n) < s(3^{n+1})\).

    По сути, нужно доказать, что сумма цифр степени тройки может быть сколь угодно большой. Давайте же докажем более сильное утверждение - степень тройки может начинаться на любую последовательность цифр (при условии, что первая цифра - не ноль). Например, есть степень тройки которая начинается на цифры 6969, или же 7082002, или же просто 55555555. 

    Поймем, для начала, что значит что число \(x\) “начинается” на число \(A\). Если в десятичной записи \(x\) содержит еще \(n\) цифр после \(A\), то тогда \(10^nA ≤ x < 10^n(A+1)\). Ясно, что это необходимое и достаточное условие. Получается, для любого натурального \(A\), нам необходимо найти \(m,n\) такие, что: 

    \(10^nA ≤ 3^m < 10^n(A+1)\).

    Что равносильно

     \(n+\log_{10}(A) \le m\log_{10}(3) < n + \log_{10}(A+1)\). 

    Видим, что проблема кроется в дробных частях и что нам достаточно найти такое большое натуральное \(m\), что \(\{m\log_{10}(3)\}\) принадлежит промежутку \((\{\log_{10}(A)\}, \{\log_{10}(A+1)\})\), либо же промежутку \((\{\log_{10}(A)\}, 1)\), если между \(\log_{10}(A)\) и \(\log_{10}(A+1)\) есть целое число. Тогда мы легко подберем \(n\), чтобы неравенство выше действительно выполнялось (\(n = [m\log_{10}(3)]-[\log_{10}(A)]\)). 

    Такой \(m\) найдется, потому что для любого иррационального \(\alpha\) и любого интервала \((x, y), 0 \le x < y \le 1\), существует натуральное \(k\), что \(\{ k\alpha\} \in (x, y)\), т.е. потому что множество \(\{ \{n\alpha\} \ \mid \ n \in N \} \) плотно в \((0,1)\). Доказать это - довольно легко. Из утверждения сразу же следует, что таких натуральных \(k\) бесконечно (поделим \((x,y)\) на бесконечно много непересекающихся интервалов, например). Осталось понять, что \(\log_{10}(3)\) - иррационально. Что касается суммы цифр, мы только что доказали, что \(3^n\) может начинаться на сколь угодно много семерок, а значит и \(s(3^n)\) не ограничен.

    Заметим, что единственное свойство числа 3, используемое в данном решении - это иррациональность \(\log_{10}(3)\). Поэтому, можем заменить 3 на любое натуральное \(a\), такое, что \(\log_{10}(a)\) - иррационально, т.е. на любое число, кроме степеней 10. Конечно, можно и по другому подойти к изначальной проблеме. Например, в этой статье показывается, что \(s(2^n) > \log_4(n)\).  

    Вот еще несколько задач про цифры и суммы цифр:

    • Докажите, что существует бесконечно много пар точных квадратов \(a^2\) и \(b^2\) не кратных 10 с одинаковыми наборами(мультимножествами) цифр.
    • Докажите, что для любого \(n\) не делящегося на 10, существует число кратное \(n\) и состоящее только из цифр 1, 2, 3, 4, 5.
    • Верно ли, что для любого натурального \(n>2\) выполняется \(s(9^n)>9\)?
  2. После того как ты изучил must-know книгу И. Ф. Шарыгина, Сборник задач по геометрии, появляется вопрос что же делать далее?

    Я советую начать с книги Э. Г. Готмана, Задачи по планиметрии и методы их решения, и изучить следующие темы:

    • Методы геометрических преобразований
      • Симметрия (Осевая, Центральная)
      • Повороты
      • Композиция движений
      • Гомотетия
      • Преобразования подобия
    • Методы вспомогательных фигур
      • Вспомогательная окружность
      • Спрямление
      • Дополнительные треугольники
    • Алгебраический метод
      • Алгебраические преобразования. Тождества и неравенства. (по желанию)
      • Уравнения первой и второй степени (по желанию)
      • Тригонометрические тождества
      • Тригонометрические уравнения
    • Разные методы
      • Пропорциональные отрезки
      • Площади
      • Замечательные линии и точки треугольника
      • Прямоугольный треугольник и окружности
      • Треугольник, четырехугольник и окружность
      • Касающиеся окружности
    • Метод координат (по желанию)
      • Афинная система координат
      • Прямоугольная система координат

    Именно знакомство с идеями о движении и преобразованиях поможет развить геометрическое мышление и нестандартные подходы при решении задач. Также эта книга научит тебя применять теоремы, где они «в лоб» ничего не дают; порою это очень полезное умение

    Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads (EGIMO)  данная книга является сборником почти всех знаний по олимпиадной геометрии и очень хороша в теории и практических задачах. В этой книге каждая глава рассказывает про отдельные методы решения, и очень важно понимать каждый из них, ведь автор часто делает ссылки на предыдущие главы и теоремы. Книга состоит из глав:

    • Fundamentals (тут все задачи легкие; если вы закончили Готмана или Шарыгина, то эта глава будет служить лишь напоминалкой)
      • Angle Chasing
      • Cirlces
      • Lengths and Ratios
      • Assorted Configuration
    • Analytic Techniques (лучше повременить с этой главой и оставить ее в последнюю очередь)
      • Computational Geometry
      • Complex Numbers
      • Barycentric Coordinates
    • Farther from Kansas
      • Inversion
      • Projective Geometry
      • Complete Quadrilaterals
      • Personal Favorites

    Также, когда будешь решать практические задания из этой книги, обратите внимание на подсказки, не сиди больше часа над задачей, и в то же время не сдавайся сразу же при неудачной попытке решить.

    После того как ты эффективно проработаешь с EGIMO и Готманом, у тебя будут достаточные знания чтобы решить любую геометрию на республиканской олимпиаде. Если же захочешь еще углубить знания в геометрии, следующие книги и статьи тебе в помощь:

    Для еще больших практических задач, рекомендую решать международные/национальные олимпиады на портале artofproblemsolving.com.

    Если у тебя появятся вопросы по задачам, не забудь оставить их в нашем форуме. Там наши знатоки обязательно дадут полноценное объяснение.

    Удачи в познании геометрии!

  3. 1. Прочитайте условия всех задач и наметьте, в каком порядке вы будете их решать. Учтите, что обычно задачи упорядочены по возрастанию их трудности.

    2. Если условие, на ваш взгляд, можно понять разными способами, то не выбирайте самый удобный для себя, а обращайтесь к дежурному с вопросом.

    3. Если задача решилась слишком легко  это подозрительно, возможно, вы неправильно поняли условие или где-то ошиблись.

    4. Если задача не решается  попробуйте её упростить (взять меньшие числа, рассмотреть частные случаи и т.д.) или порешать ее «от противного», или заменить числа буквами и т. д.

    5. Если неясно, верно ли некоторое утверждение, то пытайтесь его поочередно то доказывать, то опровергать (совет А. Н. Колмогорова).

    6. Не зацикливайтесь на одной задаче: иногда отрывайтесь от нее и оценивайте положение. Если есть хоть небольшие успехи, то можно продолжать, а если мысль ходит по кругу, то задачу лучше оставить (хотя бы на время).

    7. Если устали, отвлекитесь на несколько минут (посмотрите на облака или просто отдохните).

    8. Решив задачу, сразу оформляйте решение. Это поможет проверить его правильность и освободит внимание для других задач.

    9. Каждый шаг решения надо формулировать, даже если он кажется очевидным. Удобно записывать решение в виде нескольких утверждений (лемм). Это помогает при проверке и обсуждении работы.

    10. Перед тем как сдать работу, перечитайте её «глазами проверяющих»  смогут ли они в ней разобраться?

    Источник: А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, "Как решают нестандартные задачи"

  4. Психология подготовки

    • 2
      записи
    • 1
      комментарий
    • 308
      просмотров

    Последние записи

    arman
    Последняя запись

    Продублировано с pagodane.nisolymp.kz/blogs, Автор записи  Антон Моргунов.

    tree1.jpg

    Что вы видите на картинке? 

    Я вижу возможности. Например, возможность посадить одуванчик. Или розу. Или куст. Или дерево. Яблоню. Я люблю яблоки, а вы? 

    Что же я буду делать? Ну, первым делом я куплю семена

    tree2.jpg

    Потом я положу их во влажную марлю и буду ждать пока они прорастут.

    tree3.jpg

    Ну как то так.

    Теперь я сажаю этот росток в мою землю и поливаю по мере засыхания почвы. Спустя недели две, я вижу эту картинку

    tree4.jpg

    Красиво, не правда ли? Начало положено.

    Процесс положен. Я регулярно ухаживаю за деревом, поливаю его, подкармливаю удобрениями.

    Оно начинает расти.

    tree5.jpg

    tree6.png

    tree7.jpg

    tree8.jpg

    Дерево все больше и больше.

    И вот одним весенним утром, я замечаю следующее

    tree9.jpg

    Надо же, моя яблоня расцвела! А значит, скоро будут плоды!

    tree10.jpg

    Ближе к лету, я получаю вот такие сладкие плоды.

    Но что будет, если на любом этапе я вдруг перестану ухаживать за деревом? Думаю финал очевиден.

    tree11.jpg

    К чему был этот рассказ? Надеюсь вы поняли аналогию

    • Покупка семян = регистрация на nisolymp.kz
    • Ваше дерево = ваши знания по предмету
    • Поливание и подкормка = ваша подготовка
    • Весеннее цветение = ваша первая респа
    • Летние плоды = ваше золото на респе и на межнаре.

    Но путь от семени до плодов очень долгий. И стоит хоть капельку забыть про дерево - оно умрет.

  5. Time Management

    • 2
      записи
    • 13
      комментариев
    • 395
      просмотров

    Последние записи

    Продублировано с pagodane.nisolymp.kz/blogs, Автор записи  Антон Моргунов.

    Как я уже говорил, я пользуюсь приложениями для эффективной подготовки.

    По сути, это простые таймеры, которые помогают тебе следить за тем, чтобы ты занимался ровно 25 минут, потом отдохнул 5 минут и продолжил цикл.

    Это очень полезно, поскольку ты сам себя настраиваешь на усиленную работу в эти 25 минут, ты не отвлекаешься ни на что, даже не смотришь на новые сообщения, а во время 5 минутного отдыха ты отдыхаешь. Это позволяет тебе заниматься 4 и более часов в день непрерывно и оставаться с хорошей концентрацией.

    Я крайне рекомендую вам установить это приложение, и работать в следующем цикле: 25, 5, 25, 5, 25, 5, 25, 15. То есть после каждой 25 минутной работы вы отдыхаете 5 минут, но после четвертой 15 минут. 

    Приложения для iOS:

    Flat Tomato:

    flat4.jpegflat3.jpegflat2.jpegflat1.jpeg

    Открыть в AppStore

    Tide:

    Это тоже своего рода таймер, в котором во время отсчета можно выбрать звуки природы или какую нибудь мелодию. Очень расслабляет и держит фокус и настроение на высоте.

    tide4.jpegtide3.jpegtide2.jpegtide1.jpeg

    Открыть в AppStore

    Приложение для Android:

    ClearFocus:

    clear4.pngclear3.pngclear2.pngclear.png

    Открыть в Google Play

×